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Maths · 4e · Trimestre 2

Le cosinus dans un triangle rectangle en 4e

La question de départ

Une échelle est posée contre un mur : plus elle est penchée, plus son pied s'éloigne du mur. À ton avis, comment mesurer cette inclinaison avec les longueurs ?

À la fin du chapitre, votre enfant sait :

  • repérer hypoténuse, adjacent et opposé
  • définir le cosinus d'un angle aigu
  • calculer une longueur ou un angle avec cos
Travailler ce chapitre avec Ari

Le cours en 4 cartes

  1. Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

    Une échelle en bois appuyée contre un mur de briques, posée sur le sol, qui dessine un triangle rectangle.
    Photo : Baltimore Heritage from Baltimore, MD, USA, CC0 (Wikimedia Commons)

    Triangle rectangle : il a un angle droit.
    Hypoténuse : côté en face de l'angle droit, le plus long.
    Adjacent : touche l'angle choisi. Opposé : en face de lui.

    Ari explique

    Nomme d'abord l'hypoténuse : c'est le côté en face de l'angle droit, et c'est toujours le plus long. Ici, ce serait l'échelle. Ensuite, choisis un angle aigu, par exemple celui entre l'échelle et le sol. Le côté adjacent est celui qui touche cet angle, sans être l'hypoténuse. Le côté opposé est celui qui est en face.

  2. Définition du cosinus d'un angle aigu

    Le cosinus d'un angle aigu est un quotient :
    cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}
    On n'utilise pas le côté opposé.

    Ari explique

    Maintenant qu'on connaît les trois côtés, voici la définition. Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu, c'est-à-dire un angle plus petit que 90°. Son cosinus, c'est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Un quotient, c'est le résultat d'une division.

  3. Le cosinus est toujours entre 0 et 1

    L'hypoténuse est le plus grand côté, donc :
    0≤cos⁡(A^)≤10 \le \cos(\hat{A}) \le 1
    Plus l'angle est grand, plus le cosinus est petit.

    Ari explique

    Rappelle-toi : le cosinus, c'est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse. Or l'hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle rectangle. Donc le côté adjacent est plus petit, et la fraction est inférieure ou égale à 1. Elle ne peut pas être négative non plus, car une longueur est positive. Le cosinus est donc toujours compris entre 0 et 1.

  4. Utiliser le cosinus : longueur et angle

    Longueur : adjacent =hypoteˊnuse×cos⁡(angle)= \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle}).
    Angle : on utilise la touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice.
    Règle la calculatrice en degrés.

    Ari explique

    Maintenant, on se sert du cosinus pour calculer. Premier cas : on connaît l'angle et l'hypoténuse, et on cherche le côté adjacent. On part de cos = adjacent ÷ hypoténuse, donc adjacent = hypoténuse × cos. Sur le tableau, avec une hypoténuse de 10 cm et un angle de 60°, on calcule 10 × cos 60°, soit 10 × 0,5, donc 5 cm.

Un exercice guidé

Le triangle DEF est rectangle en E. On donne DE = 6 cm et DF = 10 cm. Calcule le cosinus de l'angle EDF^\widehat{EDF}.

Ari ne donne pas la réponse : il pose la question qui aide à la trouver.

La question d'Ari pour commencer

L'angle droit est en E.

Une séance avec Ari sur ce chapitre

Ari reprend le cours carte par carte, vérifie que votre enfant a compris avec une petite question, puis l'accompagne sur les exercices guidés en le laissant trouver.

Ce que les parents voient

Après chaque séance, l'espace parent montre ce que votre enfant a travaillé, ses points forts et ce qui est à revoir. Vous ne voyez jamais la conversation, et votre enfant le sait.

Reprendre ce chapitre ce soir

Votre enfant voit ce chapitre en classe ? Il peut le reprendre ce soir avec Ari, puis passer aux exercices guidés.

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